LINEA DEL TIEMPO
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- Nacimiento: El inicio de las matemáticas se prolonga en los siglos VI-V a.C. Las matemáticas se convierten en una ciencia independiente con un objetivo propio. Podrían denominarse matemáticas antiguas y pre-helénica, en ellas se suelen englobar las antiguas civilizaciones Egipto, Mesopotámica, China e India. Situaríamos a Grecia entre este periodo y el siguiente.
- matemáticas elementales: A continuación del anterior, entre los siglos VI-V a.C. y a finales del siglo XVI. Se obtuvieron grandes logros en el estudio de las matemáticas constantes, al desarrollarse la geometría analítica y análisis infinitesimal.
- Periodo de formación: Este periodo está representado por la introducción de magnitudes variables en la geometría analítica de descartes y la creación de cálculo diferencial e integral en los trabajos de I. Newton y G.V. Leibniz. Se formaron todas las disciplinas conocidas actualmente, así como los fundamentos clásicos de las matemáticas contemporáneas. El periodo se aproxima a mediados del siglo XIX.
- Periodo contemporáneo: El proceso de creación desde mediados del siglo XIX. En este periodo el volumen de las formas especiales y relaciones cuantitativas abarcadas por os métodos de los matemáticos han aumentado espectacularmente, e incluso podríamos decir exponencialmente la llegada del ordenador. Descubrimientos más importantes: Algebra y aritmética. El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad practica de contar objetos. Inicialmente se contaban con la ayuda de los medios disponibles (la palabra calculo deriva de la palabra latina cálculos que significa contar piedras). La serie de números naturales era, lógicamente, limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna.
Babilonia
Desde el tercer milenio antes de Cristo los pueblos que habitaron entre los ríos Tigris y Eúfrates nos han dejado miles de tablillas de arcilla. En más de 500 de ellas apaprecen manifestaciones matemáticas que nos han permitido descubrir desde su sitema de numeración en base 60 a sus conocimientos sobre el teorema de Pitágoras
De su afición a las observaciones astronómicas acerca de las posiciones de los planetas observables a simple vista Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno conservamos en la actualidad dos vestigios muy populares:
- El horóscopo. Eran excelentes astrólogos, ellos bautizaron las doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de ellas en 30 partes iguales.
Es decir, dividieron el círculo zodiacal en 12 x 30 = 360 partes.
- De ellos hemos heredado la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Y la patente de nuestra manera de contar el tiempo también es suya.
Contaban con un algoritmo para calcular raíces cuadradas, trabajaban con fracciones, resolvían ecuaciones de primer y segundo grado e incluso algunas ecuaciones cúbicas de la forma
n3 + n2 = a
Tablilla con motivos geométricos
A partir del año 2.000 a de C, descubren las ventajas de un sistema posicional, que les permite escribir cualquier número con sólo dos símbolos T para el 1 y < para el 10.
La base que utilizan es 60.
Así 24 = <<TTTT
93 = 60 + 30 + 3 = T<<<TTT
4103 = 3600 + 480 + 20 + 3 = 602 + 8 x 60 + 2 x 10 + 3 =
TTTT <
T TT
TTTT <
Y ¡sorpresa!, aunque no contaban con dos herramientas imprescindibles para trabajar con decimales, el cero y la coma, también representaban fracciones de denominador 60 y sus equivalentes. Por ejemplo:
321 3/4 = 5 x 60 + 21 + 45/60 se escribiría:TTT < << TTT
T
TT < << TT
Tablilla con 17 problemas matemáticos
Tablilla Plimpton con las ternas pitagóricas
La tablilla conocida como Plimpton 322 que se conserva en la Universidad de Columbia, escrita hacia el año 1800 antes de Cristo en la que aparecen cuatro columnas de números distribuidos en 15 filas. En apariencia podía tratarse de algún tipo de anotación contable pero descifrados los números corresponden a la primera relación de ternas pitagóricas de la que se tenga conocimiento.
Fila sexta
De esta tablilla se puede deducir que los babilonios conocían el hecho de que si p y q son dos números enteros entonces los números
b = p2 - q2 ; c = 2pq ; y a = p2 + q2a, b y c son las medidas de los lados de un triángulo rectángulo,
La sexta fila corresponde a los valores de
p = 20 y q = 9
En las columnas 2ª y 3ª aparecen, escritos en sistema sexagesimal, los valores de b y de a. Y en la primera el cociente a2 / c2. El equivalente a nuestra secante al cuadrado del ángulo C.
Según Herodoto los egipcios son los padres de la Geometría, pero gracias a sus monumentos y sus papiros también sabemos hoy que disponían de un sistema de numeración adicional que les permitía trabajar con fracciones de una forma muy especial ya que el numerador siempre era la unidad.
El papiro egipcio es menos resistente al paso del tiempo que las tablillas babilónicas.
Sin embargo alguno ha llegado hasta nosotros. Los más populares el papiro de Rhind y el de Moscú. En ellos aparece una colección de más de 100 problemas que nos brindan una valiosa información de las matemáticas egipcias.
Su sistema de numeración era de base diez, como el nuestro. Los símbolos para representar las potencias de 10 eran estos:
Notaciones numéricas en piedra
Fórmulas de avituallamiento en un monumento funerario
Papiro de Moscú
Papiro de Rhind
Los egipcios, como los babilonios, también trabajaban con fracciones, con partes de la unidad.
Pero lo curioso es que sólo utilizaban fracciones con numerador la unidad, es decir de la forma: 1/2, 1/3, 1/4, 1/7, 1/15, 1/47...
Cualquier parte de la unidad la expresaban como suma de fracciones de este tipo.
El papiro de Rhind contiene una tabla de conversión de partes de la unidad a estas fracciones. Es el equivalente con más de 3.000 años de antigüedad de nuestras tablas de multiplicar, sólo que para trabajar con fracciones.
La pirámide de Keops tiene esta extraña propiedad, según recoge Herodoto:
El cuadrado de la altura coincide con el área de una de sus caras
Este hecho implica la presencia ¿casual? del número de oro
La pirámide de Keops tiene esta extraña propiedad, según recoge Herodoto:
El cuadrado de la altura coincide con el área de una de sus caras
Este hecho implica la presencia ¿casual? del número de oro
Grecia y Roma
Pitágoras
La figura de Pitágoras está envuelta en un halo de leyenda, misticismo y hasta de culto religioso. Y no es tan extraño si pensamos que fue contemporáneo de Buda, de Confucio y de Lao-Tse (los fundadores de las principales religiones orientales)
El término "matemática", al igual que el de filosofía, se le debemos a él.
¿Cuáles son las principales aportaciones matemáticas de la escuela pitagórica?...
La primera y quizás la más importante el introducir la necesidad de demostrar las proposiciones matemáticas de manera inmaterial e intelectual, al margen de su sentido práctico. Los pitagóricos dividieron el saber científico en cuatro ramas: la aritmética o ciencia de los números - su lema era "todo es número" -, la geometría, la música y la astronomía.
Armonía musical
Pitágoras descubrió que existía una estrecha relación entre la armonía musical y la armonía de los números.
Si pulsamos una cuerda tirante obtenemos una nota. Cuando la longitud de la cuerda se reduce a la mitad, es decir en relación 1:2 obtenemos una octava.
Si la longitud era 3:4 obtenemos la cuarta y si es 2:3 tenemos la quinta.
Teorema de Pitágoras ( Elementos de Euclides)
Pero lo que colmó de gozo a Pitágoras, hasta el punto de mandar sacrificar un buey a los dioses, fue la demostración del famoso teorema. Por desgracia, el secreto que imponía las normas de la sociedad ha hecho imposible que esta demostración llegue a nuestro conocimiento, aunque podemos deducir que no sería muy distinta de la que Euclides nos brinda en sus Elementos.
Sin duda es el teorema que cuenta con más número de demostraciones.
Scott Loomis reunió y publicó a principios de este siglo 367 demostraciones.
Los números poligonales
Hipsicles de Alejandría ( S.II a. de C.) va a proporcionar la definición de número poligonal de d lados y orden n de una forma que algebraicamente equivale a nuestra fórmula
N (n,d) = n+ 1/2 n ( n -1) ( d -2 )
Números amigos
Son aquellos que verifican que la suma los divisores de uno de ellos coincide con el otro
Por aquellas ironías de la historia su símbolo es portador del germen de los números irracionales.De hecho es un poema al número áureo.
Euclides: Los Elementos
Edición griega de los Elementos
Euclides en el libro más famoso de la Historia de las Matemáticas recoge gran parte de los conocimientos Pitagóricos sobre los números y define los números primos y compuestos de forma geométrica: un número entero es compuesto cuando tiene divisores distintos de él mismo y de la unidad, es decir cuando se puede dibujar como un rectángulo numérico.
Números perfectos
En el libro IX de los Elementos Euclides nos deja perplejos con su proposición 36, que proporciona un método original para encontrar números perfectos.
"Si tantos números como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporción duplicada hasta que su total resulte primo, y el total multiplicado por el último produce algún número, el producto será perfecto"
Es decir: "Si la suma de las n primeras potencias de 2 es un número primo, entonces el producto de la suma por la última potencia sumada es un número perfecto".
Si (1+2+22+...+2n) es primo,
entonces (1+2+22+...+2n)·2n es perfecto
Nicómaco de Gerasa en su Introductio Arithmeticae incluye los 4 primeros números perfectos: 6, 28, 496, 8128
Nicómaco llegó a descubrir resultados generales de interés como el hecho de que el cubo de todo número entero n, es la suma de n números impares consecutivos:
13 = 1; 23 = 3+5; 33 = 7+9+11; ...
Es decir, ya en el siglo I encontramos la solución a uno de nuestros problemas:
Apolonio: el padre de las cónicas
Arquímedes: círculos, esferas, espirales, parábolas...
A = p r2
El tornillo de Arquímedes
Los espejos ardientes
Sobre la Esfera y el Cilindro. Museo Vaticano
Muerte de Arquímedes
Epiciclos y Deferentes
Diofanto
La Aritmética constaba de 13 libros de los cuales sólo seis sobrevivieron a la destrucción de la gran biblioteca de Alejandría, primero por los cristianos y luego por los musulmanes. En él Diofanto propone más de cien problemas numéricos y da brillantes soluciones a todos ellos.
En 1621 aparece en Francia una traducción al latín de estos seis libros, realizada por Bachet.
Aritmética con las anotaciones de Fermat
El sistema de numeración romano, esas cifras que aún hoy vemos en muchos de nuestros monumentos, no es una buena herramienta para el cálculo.
Utiliza letras del alfabeto para representar los números y no es posicional, es decir cada símbolo vale siempre lo mismo, no importa dónde esté colocado.
Las cifras que utilizaban son éstas: I, V, X, L, C, D, M
El sistema se basa en la suma de los símbolos. Salvo en el caso en que un signo numérico menor preceda a uno mayor:
Por ejemplo: 1336 se escribe MCCCXXXVI
Pero 2894 es: MMDCCCXCIV
P Para mayor información ver los 10 vídeos se anexan los enlaces:
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